===

1. Perusyhtälöitä 12 p.

Alla on kuusi osatehtävää 1.1–1.6. Kirjoita kunkin osatehtävän vastauskenttään pelkkä laskun lopputulos ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen osatehtävän vastaus on kokonaisluku.

Tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria. Kunkin vastauksen maksimipituus on 5 merkkiä. Vastaukset arvostellaan tietokoneavusteisesti, ja ohjeiden noudattamatta jättäminen voi johtaa pistevähennyksiin. Jokaisesta osatehtävästä voi saada 2 pistettä.

Vastaukset:

1.1
	55

1.2
	3
	
1.3
	7
	
1.4
	8

1.5
	4
	
1.6
	7

===
	
2. Yhtälöiden ratkaisut 12 p.

    Ratkaise yhtälöpari

\begin{cases} x+y=8 & \\ 2x-y=1. & \\ \end{cases}

(4 p.)

Ratkaise yhtälö
2x^2 - \frac52 x + \frac 14 = 0. Anna suurempi juuri tarkkana arvona sievennetyssä muodossa ja pienempi juuri likiarvona kahden desimaalin tarkkuudella. (8 p.)

Vastaukset:

1. x=3, y=5
2. Suurempi juuri on viisi kahdeksasosaa plus seitsemäntoista neliöjuuri jaettuna kahdeksalla. Pienempi juuri on n. 0.11 

===

3. Prosentteja 12 p.

    Vuonna 2019 sairaanhoitajan keskimääräinen kuukausipalkka oli 2535 euroa. Eräs sairaanhoitaja sai 6 prosenttia keskimääräistä parempaa palkkaa. Hänen nettopalkkansa, eli tilille kuukausittain maksettava summa, oli 1777,25 euroa. Kuinka monta prosenttia palkasta meni veroihin ja muihin pidätettäviin maksuihin? (6 p.)

    Vuonna 2021 koronaviruskotitestin arvonlisävero oli 24 % ja myyntihinta 5,60 euroa. Tutkijaryhmä ehdotti testien arvonlisäveron alentamista 10 %:iin. Kuinka paljon tuote maksaa, jos tällainen veron muutos siirtyy täysimääräisesti hintaan? (6 p.) 

Vastaukset:

1. Sairaanhoitajan todellinen kuukausipalkka, joka oli 6 prosenttia keskimääräistä parempi, oli 2 687,10 euroa. Hänen nettopalkkansa oli 1 777,25 euroa. Tämä tarkoittaa, että veroihin ja muihin pidätettäviin maksuihin meni noin 33,86 prosenttia hänen palkastaan.

2. Jos arvonlisävero kotitestille alennetaan 24 %:sta 10 %:iin ja tämä veronalennus siirtyy täysimääräisesti hintaan, kotitestin uusi hinta olisi noin 4,97 euroa.

4. Tasakylkinen kolmio 12 p.

===
4. Tasakylkinen kolmio

Kysymykset:

Kolmion
ABC sivut AB ja AC ovat 6 senttimetriä pitkiä, ja niiden välinen kulma on \alpha. Piste D sijaitsee sivulla AB niin, että jana CD on kohtisuorassa sivua AB vastaan.

1. Määritä janan CD pituus, kun \alpha=30^\circ. (4 p.)

2. Määritä sellainen \alpha, että kolmion BCD pinta-ala on puolet kolmion ABC pinta-alasta. (4 p.)

3. Määritä janan CD pituus, jos kolmion BCD pinta-ala on kolmasosa kolmion ABC pinta-alasta. (4 p.)

Vastaukset:

1. Kun tasakylkisen kolmion sivujen AB ja AC pituus on 6 cm ja niiden välinen kulma α on 30°, voimme laskea janan CD pituuden käyttämällä trigonometrista sini-funktiota, koska jana CD on kolmion korkeus, joka muodostaa oikean kulman sivun AB kanssa.
Käytämme kaavaa: CD = AC × sin(α)
Tiedämme, että sin(30°) on aina 1/2, joten saadaan: CD = 6 cm × 1/2 CD = 3 cm
Siis janan CD pituus, kun α on 30°, on 3 cm.

2. Arvioitu vastaus toiseen tehtävään, jossa kolmion BCD pinta-ala on puolet kolmion ABC pinta-alasta, voisi olla, että kulma α on noin 60 astetta. Tämä johtuu siitä, että tasakylkisessä kolmiossa, kun kärkikulma on 60 astetta, se muodostaa kaksi yhtenevää tasakylkistä kolmiota, joista kumpikin on puolet alkuperäisestä kolmiosta.

3. Kolmion ABC pinta-ala: Koska kolmio ABC on tasakylkinen, sen pinta-ala voidaan laskea kaavalla 1/2 * AB * AC * sin(alpha). Tässä tapauksessa AB = AC = 6 cm.
Kolmion BCD pinta-ala: Tämä kolmio on oikeakulmainen, jossa hypotenuusa on AB (tai AC), ja toinen kateetti on CD. CD:n pituus voidaan laskea trigonometrian avulla. Koska CD jakaa kolmion ABC kahteen oikeakulmaiseen kolmioon, voidaan käyttää sinin puolikulmaista kaavaa. CD:n pituus on CD. Pinta-alan yhtälö: Tehtävässä pyydetään, että kolmion BCD pinta-ala on kolmasosa kolmion ABC pinta-alasta. Tämä voidaan esittää yhtälönä 1/2 * BD * CD = 1/3 * 1/2 * AB * AC * sin(alpha), missä BD = AB - CD. Ratkaisu: Järjestämme yhtälön uudelleen ja ratkaisemme CD:n pituuden: 1/2 * (AB - CD) * CD = 1/3 * 1/2 * AB^2 * CD/AB Ratkaisemalla tämän yhtälön saimme, että CD:n pituus on 4 cm.

===

B1-osa:

Kysymykset:

 B1-osa
Vastaa kolmeen tehtävään.
5. Erikoiset mittayksiköt 12 p.

Tämä tästä -ajankohtaishuumoriohjelman jaksossa 119 kerrottiin, että Helsingin alle mahtuu huoltotunneleihin ja muihin tiloihin 500 eduskuntataloa. Eduskuntatalon tilavuus puolestaan kuvailtiin seuraavasti: ''Tavallinen kylpyamme, jollainen voi olla kotona tai hotellihuoneessa, on tilavuudeltaan noin 300 litraa – – Jos sinulla on 120 000 tällaista kylpyammetta, niin ne täyttävät neljäsosan eduskuntatalosta.''

    Mikä on eduskuntatalon tilavuus kuutiometreinä? (6 p.)

    Usein kuulee verrattavan pinta-aloja jalkapallokenttien kokoon. Jalkapallokenttä on suorakulmio, jonka sivujen pituudet ovat 105 metriä ja 68 metriä. Oletetaan, että huoltotunnelit ja muut tilat ovat suorakulmaisia särmiöitä. Jos huoltotunnelien ja muiden Helsingin alla olevien tilojen korkeus on keskimäärin 4,0 metriä, niin mikä on niiden pohjien yhteenlaskettu pinta-ala jalkapallokenttinä mitattuna? (6 p.) 

Vastaukset:

1. Eduskuntatalon tilavuus kuutiometreinä:
Tehtävässä mainittiin, että tavallisen kylpyammeen tilavuus on noin 300 litraa.Kerrottiin myös, että 120 000 tällaista kylpyammetta täyttää neljäsosan eduskuntatalosta.Näin ollen eduskuntatalon tilavuus neljässä kylpyammeessa on 120 000 * 300 litraa.Koska yksi kuutiometri on yhtä kuin 1000 litraa, muunnetaan litrat kuutiometreiksi jakamalla 120 000 * 300 litraa 1000:lla.Tämä antaa neljäsosan eduskuntatalon tilavuudesta, joten kerrotaan tulos neljällä saadaksemme koko eduskuntatalon tilavuuden.Näin saadaan eduskuntatalon tilavuudeksi 144 000 kuutiometriä.

2. Huoltotunnelien ja muiden Helsingin alla olevien tilojen pinta-ala jalkapallokenttinä mitattuna:
Tehtävässä mainittiin, että Helsingin alle mahtuu huoltotunneleihin ja muihin tiloihin 500 eduskuntataloa.Aiemmin laskimme eduskuntatalon tilavuudeksi 144 000 kuutiometriä.Täten Helsingin alla olevien tilojen yhteistilavuus on 500 * 144 000 kuutiometriä.Oletetaan, että huoltotunnelien ja muiden tilojen keskimääräinen korkeus on 4,0 metriä.Pinta-ala saadaan jakamalla tilavuus korkeudella.Saatu pinta-ala on Helsingin alla olevien tilojen kokonaispinta-ala neliömetreinä.Jalkapallokentän pinta-ala on 105 metriä * 68 metriä. Jakamalla Helsingin alla olevien tilojen pinta-ala yhden jalkapallokentän pinta-alalla saadaan, kuinka monta jalkapallokenttää mahtuu Helsingin alle.Tämä antaa tulokseksi noin 2521 jalkapallokenttää. 

===

6. Lahjavero 12 p.
Aineisto

    Taulukko: Lahjaveron määrä 

Lahjaveroa on maksettava, kun omaisuus siirtyy toiselle henkilölle lahjana ja lahjan arvo on 5 000 euroa tai enemmän. Lahjavero määräytyy taulukossa 6.A esitetyn mukaisesti. Tarkastellaan tilanteita, joissa annetaan vain yksi lahja.

    Mikä on 80 000 euron lahjan veron määrä? Kuinka monta prosenttia tästä lahjasta maksetaan veroa? (6 p.)

    Kuinka suuresta lahjasta maksetaan 4 000 euroa lahjaveroa? (6 p.) 

Vastaukset:

1. 80 000 euron lahjan veron määrä ja veroprosentti: Lahjan veron määrä on 7 700 euroa. Tästä lahjasta maksetaan veroa 9.625 prosenttia.

2. Lahjan arvo, josta maksetaan 4 000 euroa lahjaveroa: Lahja, josta maksetaan 4 000 euroa lahjaveroa, on arvoltaan 48 000 euroa. ​

​
===
7. Kolikko ja noppa (12p)

Vastaukset:

Tietysti, tässä selitykset ilman LaTeX-muotoilua:

1. **Todennäköisyys saada yhdellä kolikonheitolla klaava ja yhdellä nopanheitolla silmäluku 5:**
   - Kolikonheitossa on kaksi mahdollista tulosta: klaava tai kruuna. Todennäköisyys saada klaava on 1/2, eli 50%.
   - Nopanheitossa on kuusi mahdollista tulosta (1-6). Todennäköisyys saada silmäluku 5 on 1/6.
   - Koska nämä tapahtumat ovat toisistaan riippumattomia, niiden yhteisen tapahtuman todennäköisyys on 1/2 kertaa 1/6, joka on 1/12. Tämä tarkoittaa, että todennäköisyys on noin 0.083 eli 8.3%.

2. **Onko pelaaja C oikeassa väittäessään, että kahden klaavan saaminen kahdella kolikonheitolla on todennäköisempää kuin saada summaksi vähintään yhdeksän kahdella nopanheitolla:**
   - Todennäköisyys saada klaava yhdellä kolikonheitolla on 1/2. Kahdella heitolla tämä on 1/2 kertaa 1/2, joka on 1/4 eli 25%.
   - Nopanheitossa on 36 erilaista lopputulosta. Lasketaan vaihtoehdot, joissa summa on vähintään yhdeksän: näitä ovat (3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), yhteensä 10 vaihtoehtoa.
   - Todennäköisyys saada summa vähintään yhdeksän on siis 10/36, eli noin 27.8%.
   - Vertaillessa näitä todennäköisyyksiä, huomataan, että saada summaksi vähintään yhdeksän kahdella nopanheitolla (27.8%) on todennäköisempää kuin saada kaksi klaavaa kahdella kolikonheitolla (25%). Näin ollen pelaaja C:n väite ei ole oikea.

1. Kolikonheitossa on kaksi mahdollista tulosta: klaava tai kruuna. Todennäköisyys saada klaava on 1/2, eli 50%.Nopanheitossa on kuusi mahdollista tulosta (1-6). Todennäköisyys saada silmäluku 5 on 1/6.Koska nämä tapahtumat ovat toisistaan riippumattomia, niiden yhteisen tapahtuman todennäköisyys on 1/2 kertaa 1/6, joka on 1/12. Tämä tarkoittaa, että todennäköisyys on noin 0.083 eli 8.3%.

2. Todennäköisyys saada klaava yhdellä kolikonheitolla on 1/2. Kahdella heitolla tämä on 1/2 kertaa 1/2, joka on 1/4 eli 25%.Nopanheitossa on 36 erilaista lopputulosta. Lasketaan vaihtoehdot, joissa summa on vähintään yhdeksän: näitä ovat (3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), yhteensä 10 vaihtoehtoa.Todennäköisyys saada summa vähintään yhdeksän on siis 10/36, eli noin 27.8%.Vertaillessa näitä todennäköisyyksiä, huomataan, että saada summaksi vähintään yhdeksän kahdella nopanheitolla (27.8%) on todennäköisempää kuin saada kaksi klaavaa kahdella kolikonheitolla (25%). Näin ollen pelaaja C:n väite ei ole oikea. 

===

## Kysymys:

8. Paraabelin tangentti 12 p.

Paraabeli
y=x^2+bx+c kulkee pisteen (9, 5) kautta, ja siinä sen tangentin kulmakerroin on 2. Määritä kertoimet b ja c derivaatan avulla. 

## Vastaus:

Paraabelin yhtälön y = x^2 + bx + c kertoimet b ja c määritettiin seuraavasti:

    Otettiin paraabelin y = x^2 + bx + c derivaatta x:n suhteen, joka on 2x + b.

    Koska paraabelin on kuljettava pisteen (9, 5) kautta, tämä tarkoittaa, että kun x = 9, y = 5. Sijoitetaan nämä arvot paraabelin yhtälöön, saadaan yhtälö 9^2 + 9b + c = 5.

    Lisäksi tiedetään, että paraabelin tangentin kulmakerroin pisteessä x = 9 on 2. Kun sijoitetaan x = 9 derivaattaan 2x + b, saadaan toinen yhtälö 2 * 9 + b = 2.

    Ratkaistiin nämä kaksi yhtälöä yhdessä b:n ja c:n suhteen. Yhtälöiden ratkaisu antoi b = -16 ja c = 68.

Näin ollen paraabelin y = x^2 + bx + c kertoimet ovat b = -16 ja c = 68.

===

## Kysymys:

9. Älypuhelinten käyttöikä 12 p.
Aineisto

    Taulukko: Älypuhelinten käyttöikä 

Älypuhelinten keskimääräiset käyttöiät eräissä maissa on esitetty taulukossa 9.A.

    Laske taulukossa esitettyjen keskimääräisten käyttöikien keskiarvo 

\overline x ja keskihajonta

s. (4 p.)

Miksi osatehtävässä 9.1 laskettu keskiarvo

\overline x ei tuota kyseisten maiden älypuhelinten käyttöikien keskiarvoa? (4 p.)

Oletetaan, että älypuhelinten käyttöikä koko maailmassa noudattaa normaalijakaumaa, jonka odotusarvo on 23 kuukautta ja keskihajonta 2,55 kuukautta. Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitun älypuhelimen käyttöikä on vähintään kolme vuotta? (4 p.) 

Vastaukset:

1.     Älypuhelinten käyttöikien keskiarvo ja keskihajonta:
        Keskiarvo on 21 kuukautta.
        Keskihajonta on noin 2.26 kuukautta.

2.    Miksi laskettu keskiarvo ei tuota kyseisten maiden älypuhelinten käyttöikien keskiarvoa?
        Laskettu keskiarvo perustuu vain taulukossa mainittuihin maihin, eikä se ota huomioon kaikkien maiden älypuhelinten käyttöikiä. Se ei siis edusta maailmanlaajuista keskiarvoa, vaan on rajoitettu tiettyyn otokseen.

3.    Todennäköisyys, että satunnaisesti valitun älypuhelimen käyttöikä on vähintään kolme vuotta:
        Oletetaan, että älypuhelinten käyttöikä noudattaa normaalijakaumaa, jonka odotusarvo on 23 kuukautta ja keskihajonta 2.55 kuukautta.
        Todennäköisyys, että älypuhelimen käyttöikä on vähintään kolme vuotta (36 kuukautta), on erittäin pieni, noin 0.00000017. ​

​===
B2-osa

Vastaa kolmeen tehtävään.

10. Hirsitalo painuu kokoon 12 p.

Hirsitalon rakentamisessa pitää huomioida, että rakennus painuu kokoon muutaman vuoden ajan. Tämä tehdään jättämällä rako eli niin sanottu painumavara esimerkiksi ovien ja ikkunoiden päälle. Eräs uuden hirsitalon omistaja arvioi, että hirsien painumista tapahtuu kahdeksan vuoden ajan ja vuotuiset painumat muodostavat geometrisen lukujonon. Hänen talonsa painumavara on 6,0 cm.

    Auta talon omistajaa esittämällä geometrinen lukujono, joka kuvaa talon vuosittaista painumista. Lukujono täyttää seuraavat ehdot:

        Ensimmäinen jäsen kuuluu välille [2,0 cm; 3,0 cm].

        Kahdeksan ensimmäisen jäsenen summa 

    S kuuluu välille [5,0 cm; 6,0 cm]. 

Ilmoita vastauksessa lukujonon suhdeluku
q ja osoita laskulla, että summa

S kuuluu vaaditulle välille. (8 p.)

Piirrä pylväsdiagrammi kahdeksan ensimmäisen vuoden vuosittaisista painumista. (4 p.) 

===
Vastaus:

1. **Geometrisen lukujonon suhdeluku q:**
   - Käyttäen geometrisen lukujonon summan kaavaa ja ehtoja, että ensimmäinen jäsen on välillä [2,0 cm; 3,0 cm] ja kahdeksan ensimmäisen jäsenen summa on välillä [5,0 cm; 6,0 cm], saimme kaksi suhdelukua:
     - Kun ensimmäinen jäsen on 3,0 cm (yläraja), suhdeluku q on noin 0.400.
     - Kun ensimmäinen jäsen on 2,0 cm (alaraja), suhdeluku q on noin 0.682.
   - Näistä suhdeluvuista valittiin 0.682, koska se tuottaa suuremman alkuarvon, joka on lähempänä ehtojen ylärajaa.

2. **Pylväsdiagrammi vuosittaisista painumista:**
   - Piirsin pylväsdiagrammin, jossa näkyy kahdeksan ensimmäisen vuoden vuosittaiset painumat käyttäen valittua suhdelukua (0.682) ja ylärajan alkuarvoa (3,0 cm).
   - Diagrammi kuvaa, kuinka painuma vähenee joka vuosi geometrisen lukujonon mukaisesti.
   
   (pylväsdiagrammikuva)
   

Löysin sopivan suhdeluvun \( q \) ja ensimmäisen jäsenen \( a_1 \) arvon, jotka täyttävät annetut ehdot. Tässä yhdessä mahdollisessa ratkaisussa:

- Ensimmäisen jäsenen \( a_1 \) arvo on 2.0 cm.
- Sopiva suhdeluku \( q \) on noin 0.607.

Näillä arvoilla kahdeksan ensimmäisen jäsenen summa \( S \) on noin 5.00 cm, joka on vaaditulla välillä [5.0 cm, 6.0 cm]. Seuraavaksi voimme piirtää pylväsdiagrammin kahdeksan ensimmäisen vuoden vuosittaisista painumista tämän suhdeluvun perusteella.

Tässä on pylväsdiagrammi, joka esittää hirsitalon vuosittaista painumaa kahdeksan ensimmäisen vuoden aikana. Diagrammi perustuu löydettyyn suhdelukuun \( q \) noin 0.607 ja ensimmäiseen jäsenen \( a_1 \) arvoon 2.0 cm. Kuten näkyy, painuma pienenee joka vuosi geometrisen lukujonon mukaisesti.   
   
===
Kysymys:

11. Reunapalat 12 p.

Tuhannen palan palapelin koko on 70 cm
\times 50 cm. Arvioi, kuinka suuri osuus paloista on reunapaloja. Kirjoita näkyviin, mitä oletuksia arvioinnissasi teet.

   Arvioidakseni, kuinka suuri osuus tuhannen palan palapelissä olevista paloista on reunapaloja, tein seuraavat oletukset:

1. Palapelin palat ovat suunnilleen samankokoisia ja muotoisia.
2. Palapeli on suorakaiteen muotoinen.
3. Palojen määrä kummallakin sivulla on sama (tämä on yksinkertaistava oletus, joka ei välttämättä pidä paikkaansa).

Perustuen näihin oletuksiin:

- Jos jokaisella sivulla on \( x \) määrä paloja, reunapalojen määrä on \( 4x - 4 \). Tämä johtuu siitä, että ylä- ja alareunassa on \( 2x \) reunapalaa ja vasemmassa sekä oikeassa reunassa \( 2(x - 2) \) reunapalaa (nurkkapalat lasketaan vain kerran).
- Ratkaisin \( x \) yhtälöstä \( x \times x = 1000 \), joka antaa \( x \) noin 31.62.
- Tämän perusteella reunapalojen määrä on noin 122.49.

Tämä tarkoittaa, että noin 122 palaa tuhannesta ovat reunapaloja, kun otetaan huomioon yllä mainitut oletukset.

==> 1. vastaus (väärin, mutta likiarvo hyvin lähellä) ==>

Arvioidakseni, kuinka suuri osuus tuhannen palan palapelissä olevista paloista on reunapaloja, tein seuraavat oletukset:

1. Palapelin palat ovat suunnilleen samankokoisia ja muotoisia.
2. Palapeli on suorakaiteen muotoinen.
3. Palojen määrä kummallakin sivulla on sama (tämä on yksinkertaistava oletus, joka ei välttämättä pidä paikkaansa).

Perustuen näihin oletuksiin:

- Jos jokaisella sivulla on x määrä paloja, reunapalojen määrä on 4x - 4. Tämä johtuu siitä, että ylä- ja alareunassa on 2x reunapalaa ja vasemmassa sekä oikeassa reunassa 2(x - 2) reunapalaa (nurkkapalat lasketaan vain kerran).
- Ratkaisin x:n yhtälöstä x * x = 1000, joka antaa x:n noin 31.62.
- Tämän perusteella reunapalojen määrä on noin 122.49.

Tämä tarkoittaa, että noin 122 palaa tuhannesta ovat reunapaloja, kun otetaan huomioon yllä mainitut oletukset.

==> 2. vastaus toisessa sessiossa, oikein.

Tehdäksemme arvion siitä, kuinka suuri osuus tuhannen palan palapelin paloista on reunapaloja, meidän on tehtävä joitakin oletuksia. Oletetaan, että palapeli on suorakaiteen muotoinen ja että jokainen pala on suunnilleen samankokoinen ja -muotoinen. Lisäksi oletetaan, että palapelin reunat ovat suorat, jolloin kaikki reunapalat ovat reunoilla ja kulmapalat kulmissa.

Palapelin koko on 70 cm × 50 cm. Jos palapeli koostuu tuhannesta palasta, voimme arvioida reunapalojen määrää seuraavasti:

1. Arvioidaan palojen koko. Koska meillä on 1000 palaa, ja palapelin pinta-ala on 70 cm × 50 cm = 3500 cm², jokaisen palan keskimääräinen pinta-ala on 3500 cm² / 1000 = 3.5 cm². 

2. Oletetaan, että palat ovat suunnilleen neliön muotoisia (tämä on karkea arvio), niin jokaisen palan sivun pituus olisi noin √3.5 cm.

3. Seuraavaksi lasketaan, kuinka monta palaa mahtuu jokaiselle sivulle. Esimerkiksi pitkälle sivulle (70 cm) mahtuu noin 70 cm / √3.5 cm palaa ja lyhyelle sivulle (50 cm) mahtuu noin 50 cm / √3.5 cm palaa.

4. Reunapalojen määrä lasketaan summaamalla pitkien ja lyhyiden sivujen palojen määrät ja vähentämällä kulmapalat (joita on neljä, koska jokainen kulmapala lasketaan kahdelle sivulle).

Lasketaan tämä.

Arviomme perusteella jokaisen palan sivun pituus on noin 1.87 cm. Pitkälle sivulle (70 cm) mahtuu noin 37.4 palaa ja lyhyelle sivulle (50 cm) noin 26.7 palaa. Tämän perusteella reunapalojen kokonaismääräksi saadaan noin 124.3, vähentäen neljä kulmapalaa, jotka lasketaan kahteen kertaan.

Tämä on vain arvio, joka perustuu oletukseen, että jokainen pala on suunnilleen samankokoinen ja -muotoinen, ja että palat ovat suurin piirtein neliön muotoisia. Todellisuudessa palapelin palojen koko ja muoto voivat vaihdella, joten tämä luku voi olla erilainen käytännössä. 

Näin ollen, jos tuhannesta palasta noin 124 on reunapaloja, niin reunapalojen osuus koko palapelin palojen määrästä on noin 12.4%.

===
Kysymys:

User
12. Peruskoulujen lukumäärä Suomessa 12 p.
Aineisto

    Taulukko: Peruskoulujen lukumäärä 

Peruskoulujen lukumäärä Suomessa vuosina 2005–2020 on esitetty taulukossa 12.A.

    Piirrä diagrammi, joka esittää peruskoulujen lukumäärät vuosina 2005–2020. (2 p.)

    Sovita aineistoon regressiosuora 

y=a+bx, kun vuosi on x-akselilla ja peruskoulujen määrä y-akselilla. Selitä sanallisesti kertoimien a ja

b merkitys. (4 p.)

Sovita aineistoon regressiosuora käyttäen vain vuosien 2005–2008 peruskoulujen lukumääriä. (2 p.)

Arvioi kummankin mallin perusteella vuosi, jolloin peruskoulut häviävät Suomesta. (4 p.) 

(Unohdin aineiston, sori):

```
12. Peruskoulujen lukumäärä Suomessa
12.A  Taulukko: Peruskoulujen lukumäärä
Vuosi	Peruskoulujen määrä
2005	3347
2006	3180
2007	3067
2008	2988
2009	2889
2010	2785
2011	2719
2012	2644
2013	2576
2014	2498
2015	2397
2016	2339
2017	2276
2018	2234
2019	2189
2020	2130
Lähde: Tilastokeskus. www.stat.fi. Viitattu: 15.1.2022.
```

(Vastaus):

1. **Diagrammi peruskoulujen lukumääristä vuosina 2005–2020:**
   - Piirsin diagrammin, joka esittää peruskoulujen lukumääriä vuosittain. Diagrammista nähdään, että peruskoulujen määrä on vähentynyt jatkuvasti vuodesta 2005 vuoteen 2020.

2. **Regressiosuoran sovitus ja kertoimien merkitys:**
   - Sovitin regressiosuoran aineistoon yhtälöllä \( y = a + bx \), jossa \( y \) on peruskoulujen määrä ja \( x \) on vuosi.
   - Kerroin \( a \), joka on noin 160178, on y-akselin leikkauspiste vuonna 0 ja kuvaa peruskoulujen määrää, jos ajallista trendiä jatketaan taaksepäin aina vuoteen 0 asti.
   - Kerroin \( b \), joka on noin -78.28, kuvaa peruskoulujen määrän vuotuista muutosta. Tämä tarkoittaa, että joka vuosi peruskoulujen määrä vähenee keskimäärin 78 koululla.

3. **Regressiosuoran sovitus vuosien 2005–2008 aineistoon:**
   - Sovitin myös regressiosuoran aineistoon käyttäen vain vuosien 2005–2008 tietoja.

4. **Arvio vuodesta, jolloin peruskoulut häviävät Suomesta:**
   - Koko aineiston perusteella sovitettu malli ennustaa, että peruskoulut häviävät Suomesta noin vuonna 2046.
   - Vuosien 2005–2008 aineiston perusteella sovitettu malli ennustaa, että peruskoulut häviävät noin vuonna 2033.

Nämä arviot perustuvat lineaariseen regressiomalliin ja ovat hypoteettisia. Ne eivät välttämättä kuvasta todellista tulevaisuuden kehitystä.

==> VASTAUS:

Diagrammi peruskoulujen lukumääristä vuosina 2005–2020:
Piirsin diagrammin, joka esittää peruskoulujen lukumääriä vuosittain. Diagrammista nähdään, että peruskoulujen määrä on vähentynyt jatkuvasti vuodesta 2005 vuoteen 2020.

Regressiosuoran sovitus ja kertoimien merkitys:
Sovitin regressiosuoran aineistoon yhtälöllä ( y = a + bx ), jossa ( y ) on peruskoulujen määrä ja ( x ) on vuosi.
Kerroin ( a ), joka on noin 160178, on y-akselin leikkauspiste vuonna 0 ja kuvaa peruskoulujen määrää, jos ajallista trendiä jatketaan taaksepäin aina vuoteen 0 asti.
Kerroin ( b ), joka on noin -78.28, kuvaa peruskoulujen määrän vuotuista muutosta. Tämä tarkoittaa, että joka vuosi peruskoulujen määrä vähenee keskimäärin 78 koululla.

Regressiosuoran sovitus vuosien 2005–2008 aineistoon:
Sovitin myös regressiosuoran aineistoon käyttäen vain vuosien 2005–2008 tietoja.

Arvio vuodesta, jolloin peruskoulut häviävät Suomesta:
Koko aineiston perusteella sovitettu malli ennustaa, että peruskoulut häviävät Suomesta noin vuonna 2046.
Vuosien 2005–2008 aineiston perusteella sovitettu malli ennustaa, että peruskoulut häviävät noin vuonna 2033.

===
Kysymys:

13. Kuvaajat ja derivaatta 12 p.

Funktioista
f ja g tiedetään, että f(0)=0 ja

g(0)=5 sekä

2\leq f'(x)\le 3\qquad\text{ja}\qquad 1\leq g'(x)\le 2

kaikilla

x.

    Oletetaan, että funktioiden 

f ja g kuvaajat ovat suoria. Perustele graafisesti tai laskemalla, että 4\leq f(2)\le 6 ja

7\leq g(2)\le 9. (6 p.)

Oletetaan, että funktioiden
f ja

g kuvaajat eivät välttämättä ole suoria. Mitkä seuraavista tilanteista ovat mahdollisia:

f(2)=g(2)

f(2)<g(2)

    f(2)>g(2) 

Voit hyödyntää perustelussasi seuraavaa tietoa:
Jos kahdella funktiolla on sama arvo kohdassa
0 ja toisen funktion derivaatta on suurempi välillä [0, 2], niin tämän funktion arvo on suurempi kohdassa 2. (6 p.)

Vastaus:

1. **Oletetaan, että funktioiden f ja g kuvaajat ovat suoria:**
   - Koska funktioiden f ja g kuvaajat ovat suoria, niiden derivaatat f'(x) ja g'(x) ovat vakioita. Tämä tarkoittaa, että funktiot f ja g ovat lineaarisia, eli niiden kuvaajat ovat suoria linjoja.
   - Funktion f derivaatta on 2 ≤ f'(x) ≤ 3. Koska f(0) = 0 ja funktio on lineaarinen, funktion f arvo kasvaa vähintään 2 yksikköä ja enintään 3 yksikköä jokaista x-akselin yksikköä kohden. Tämä tarkoittaa, että 2 yksikköä x:n ollessa 1 ja 4 yksikköä x:n ollessa 2 (vähimmäismäärä) tai 3 yksikköä x:n ollessa 1 ja 6 yksikköä x:n ollessa 2 (enimmäismäärä). Siis 4 ≤ f(2) ≤ 6.
   - Funktion g derivaatta on 1 ≤ g'(x) ≤ 2. Koska g(0) = 5 ja funktio on lineaarinen, funktion g arvo kasvaa vähintään 1 yksikköä ja enintään 2 yksikköä jokaista x-akselin yksikköä kohden. Tämä tarkoittaa, että 7 (5 + 2*1) ≤ g(2) ≤ 9 (5 + 2*2).

2. **Oletetaan, että funktioiden f ja g kuvaajat eivät välttämättä ole suoria:**
   - Jos kahdella funktiolla on sama arvo kohdassa 0 ja toisen funktion derivaatta on suurempi välillä [0, 2], niin tämän funktion arvo on suurempi kohdassa 2.
   - Koska f'(x) on suurempi kuin g'(x) välillä [0, 2], niin on mahdollista, että f(2) > g(2).
   - Koska f(0) = 0 ja g(0) = 5, alussa g:n arvo on suurempi kuin f:n. On kuitenkin mahdollista, että f kasvaa nopeammin ja saavuttaa tai ylittää g:n arvon kohdassa 2. Siksi f(2) = g(2) ja f(2) < g(2) ovat myös mahdollisia tilanteita.

Yhteenvetona, kaikki kolme tilannetta (f(2) = g(2), f(2) < g(2), ja f(2) > g(2)) ovat mahdollisia, riippuen funktioiden tarkemmasta käyttäytymisestä välillä [0, 2

1. **Graafinen esitys funktioista f ja g, kun oletetaan, että ne ovat suoria:**
   - Piirsin kuvaajat funktioille f ja g olettaen, että ne ovat suoria. Funktion f kuvaajat piirrettiin kahdella eri derivaatan arvolla (minimi 2 ja maksimi 3), samoin kuin funktion g kuvaajat (minimi 1 ja maksimi 2).
   - Kuvaajasta nähdään, että funktion f arvot x = 2 kohdalla ovat välillä 4 ja 6, ja funktion g arvot ovat välillä 7 ja 9, kuten alussa arvioitiin.

2. **Arviointi, kun funktioiden f ja g kuvaajat eivät välttämättä ole suoria:**
   - Jos funktioiden kuvaajat eivät ole suoria, kaikki kolme tilannetta (f(2) = g(2), f(2) < g(2), ja f(2) > g(2)) ovat mahdollisia. Tämä johtuu siitä, että vaikka funktion f derivaatta on suurempi kuin funktion g, alkuarvo f(0) = 0 on pienempi kuin g(0) = 5. Näin ollen funktio f voi kasvaa nopeammin ja saavuttaa tai jopa ylittää funktion g arvon x = 2 kohdassa, riippuen funktioiden tarkemmasta käyttäytymisestä välillä [0, 2].
   
===

Sisällys

    A-osa
    Vastaa neljään tehtävään.
        Perusyhtälöitä 12 p.
        Yhtälöiden ratkaisut 12 p.
        Prosentteja 12 p.
        Tasakylkinen kolmio 12 p.
    B1-osa
    Vastaa kolmeen tehtävään.
        Erikoiset mittayksiköt 12 p.
        Lahjavero Aineisto12 p.
        Kolikko ja noppa 12 p.
        Paraabelin tangentti 12 p.
        Älypuhelinten käyttöikä Aineisto12 p.
    B2-osa
    Vastaa kolmeen tehtävään.
        Hirsitalo painuu kokoon 12 p.
        Reunapalat 12 p.
        Peruskoulujen lukumäärä Suomessa Aineisto12 p.
        Kuvaajat ja derivaatta 12 p.

Koe yhteensä
120 p.

===

